Proposition :
Si \(A:E\to E\) est une application linéaire d'un \({\Bbb R}\)-espace vectoriel \(E\), alors il existe un sous-espace invariant par \(A\)
Remarque :
Si \(A\) est inversible (i.e. \(\operatorname{det} A\ne0\)) sur \(U\), alors \(A(U)=U\)
Proposition :
Si \(U\subseteq E\) est \(A\)-invariant, alors \(U^\perp\) est \(A^*\)-invariant
(Ensembles orthogonaux - Complément orthogonal, Fonction adjointe)
Corollaire :
Si \(U\subseteq E\) est \(A\)-invariant, et si \(A\) est symétrique, antisymétrique ou orthogonale, alors \(U^\perp\) est \(A\)-invariant
Remarque :
L'existence d'un sous-espace \(U\) invariant par \(A\) vient du fait que certaines valeurs propres de \(A\) peuvent être complexes, et à la place d'une droite propre, on obtient un plan invariant venant d'un espace \({\Bbb C}\)-vectoriel dont "la partie réelle est \(E\)"
(Vecteur propre - Valeur propre - Elément propre)
Théorème :
Si \(A:E\to E\) est symétrique, alors il existe une base orthonormée \(\{e_1,\dots,e_n\}\) telle que chaque \(e_i\) est un vecteur propre de \(A\)
Théorème :
Si \(A\in O(n)\), alors il existe une base orthonormée dans laquelle \(A\) a la forme $$A={{\begin{pmatrix} R(\alpha_1)&&&&&&&&\varnothing\\ &\ddots\\ &&R(\alpha_k)\\ &&&-1\\ &&&&\ddots\\ &&&&&-1\\ &&&&&&1\\ &&&&&&&\ddots\\ \varnothing&&&&&&&&1\end{pmatrix}}}$$ avec $$R(\alpha_i)={{\begin{pmatrix}\cos\alpha_i&-\sin\alpha_i\\ \sin\alpha_i&\cos\alpha_i\end{pmatrix}}}$$
(Rotation linéaire)
Remarque :
Si \(\lambda\in{\Bbb R}\) est une valeur propre de \(A\in O(n)\), alors \(\lambda\in\{-1,1\}\)
théorème d'Euler :
Si \(A\in O(3)\), alors il existe une base orthonormée telle que $$A={{\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\ \sin\alpha&\cos\alpha&0\\ 0&0&\pm1\end{pmatrix}}}$$
On a \(A\in SO(3)\) si et seulement si \(\operatorname{det} A=1\) (i.e. Le \(\pm1\) est \(1\))
Les trois valeurs propres de cette matrice sont \(1\), \(\cos\alpha+i\sin\alpha\) et \(\cos\alpha-i\sin\alpha\)